３乗 →
6abc
４乗 →
12a3bc +
12b3ca +
12c3ab
５乗 →
20a3bc +
20b3ca +
20c3ab +
30a2b2c +
30b2c2a +
30c2a2b
やっぱり、この思い付きは失敗だったのでしょうか。
私は多少くじけそうになりました。
しかし、この三角錐のアイディアは、破棄するにはもったいない気がしました。
確かに表現しきれない係数がありますが、もう一押しで真理に到達する気配がしたのです。
「どうにかして完全な描象を得たい」
私は何週間もいろいろな図形を書き散らしました。
そして、ある日ついに閃きました。
三角形が「平面」なら、三角錐は「立体」です。
私は今まで三角錐の表面にのみ着目していました。
しかし「立体」は、その内部に構造を持っているのです。
表現できない係数項は、実は三角錐の内部に配置されるのではないか？
これが、私の閃きでした。
そして、問題の係数が見事な均整をもって納まるのを確認したのです。
この美しい三角錐を描ききった時の感動を忘れません。
私はパスカルの三角形を拡張することができたのです！
この三角錐に粋な名前を与えようと思ったのですが、なかなか考えつかず、
しかたなく自分の名前を取って渋々「カトウの三角錐」と呼んでいます。(笑)
この「カトウの三角錐」には、「パスカルの三角形」と同様な規則性が
あることもすぐに確認できました。
「ある数は、その１つ上の行の隣接する３つの数の和によって求まる」
例えば、上図の赤で示された部分では、４＋４＋１２＝２０ という関係が成り立っています。
この規則性を数式で確認するため、私は「三項定理」を組み立てることにしました。
そのためには、まず組み合わせ演算子を拡張する必要がありました。
以下が私が勝手に発案した「Combinationの拡張表現」です。
上記の「拡張されたConbination記述」を使えば、
「三項定理」として以下のような式を与えることができます。
そして、三項定理における係数の漸化式は、以下のようになります。
ここで、二項定理の時と同様な方法を使い左辺を展開整理してみます。
見事に、三項定理における漸化式の検証も成功しました。
「カトウの三角錐」は、その一つの断面の中にも美しい規則性があります。
断面の図形は正三角形になるわけですが、その３つの頂点がそれぞれ a,b,c の最高次数項を表します。
そして、それぞれの係数の位置における「頂点との距離」によって a,b,c の次数が決るのです。
例えば、n = 4 の断面を取出してみましょう。
図の赤い点線矢印に注目して下さい。
a4 の頂点から出発して、頂点 a から１つ離れ、かつ頂点 b に１つ近づくと、a3b の項となります。
更に頂点 a から１つ離れ、今度は頂点 c に１つ近づくと a2bc の項になるわけです。
こうして「カトウの三角錐」は、見事に「パスカルの三角形」の拡張に成功しました。
この宝石の結晶のように美しい描像は、私を大変満足させました。
しかし二項定理を三項定理に拡張できるのなら、四項、五項と進めたくなるのが人情です。
そして、最後は「ｎ項定理」という一般系にしてこそ、新しい領域の開拓であり、真の拡張と言えるでしょう。
でも、私は足を止めました。
三角形という「平面」の次に来るのが、三角錐という「立体」だとしたら、
その次に来るのは、どう考えても「超立体」つまり４次元物体です。
確かに、Combination拡張をｎ元化すれば、「数式」としての「ｎ項定理」表現は可能でしょう。
それは容易に想像が付きます。しかし「パスカルの三角形」のような描像を与えることは出来ません。
そんなわけで、しばらく私はこの問題から離れていました。
「カトウの三角錐」という結論を得たことで、それなりの満足感を得たというのも事実でした。
しかしまたある日、突然と閃きが起りました。
それは、「カトウの三角錐」の断面を以下のように並べた瞬間でした。
確かに「カトウの三角錐」は“立体”です。しかし、その断面は「正三角形」という“平面”です。
という事は、四項定理の“超立体”の断面形状は、“立体”として並べることが可能なのではないか？
これが私の閃きでした。そしてその立体は、必ずや「正四面体」であろうと直観しました。
早速、紙と鉛筆、そして今まで以上の“根気”を発動することにしました。
(a+b+c+d)1 = a + b + c + d
(a+b+c+d)2 =
a2 +
b2 +
c2 +
d2 +
2ab +
2bc +
2cd +
2da +
2ac +
2bd
(a+b+c+d)3 =
a3 +
b3 +
c3 +
d3 +
3a2b +
3b2c +
3c2d +
3d2a +
3a2c +
3b2d +
3ab2 +
3bc2 +
3cd2 +
3da2 +
3ac2 +
3bd2 +
6abc +
6bcd +
6cda +
6dab
(a+b+c+d)4 =
a4 +
b4 +
c4 +
d4 +
4a3b +
4b3c +
4c3d +
4d3a +
4a3c +
4b3d +
4ab3 +
4bc3 +
4cd3 +
4da3 +
4ac3 +
4bd3 +
6a2b2 +
6b2c2 +
6c2a2 +
6a2d2 +
6a2b2 +
6b2d2 +
12a2bc +
12ab2c +
12abc2 +
12a2bd +
12ab2d +
12abd2 +
12a2cd +
12ac2d +
12acd2 +
12b2cd +
12bc2d +
12bcd2 +
24abcd
さて、これら四項展開の係数を、結晶のように並べることが出来るでしょうか？
結果は大成功でした。以下のように見事な正四面体の隊列が姿を現したのです！
今度は、正四面体の４つの頂点がそれぞれ a,b,c,d の最高次数項を表します。
それぞれの係数位置に関する「頂点との距離」の関係も「カトウの三角錐」と同様に成立ちます。
もちろん、１つ前の次数における隣接する係数の和が、次の次数の係数となる規則性も存在します。
見事な美しさです！
けれども、私たち３次元空間で生きる人間に描ける描像はここまでです。
次は、断面形状でさえ「４次元物体」になってしまうからです。
しかし、自らの思索で描像の限界まで達することができたという満足感は、
夜空の星のように、いつまでも私の心の内で輝いているのです。
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これが「パスカルの三角形」です。
この三角形に並べられた数字には、次のような法則があるのがわかります。
「ある数は、その１つ上の行の隣接する左右の数の和によって求まる」
例えば、上図の赤い部分では、６＋４＝１０ となっています。
どうしてこんな規則性が存在するのでしょうか？
この二項式のｎ乗展開における係数は、
現代の数学では以下のような数式で表現されます。
これは“二項定理”と呼ばれ、右辺の係数 nＣr を“二項係数”と言います。
結局、パスカルが見出した“美”は、確率計算で多用される組合せ演算子(Combination)で
表現されます。事実パスカルは、ある賭博師から“賭けを中断した際の公平な配分方法”を
依頼され、その確率計算方法を検討している最中に「パスカルの三角形」を発見したそうです。
この二項係数で「パスカルの三角形」における規則性も簡単に証明できます。
６＋４＝１０ の関係を二項係数を利用して表現すると、
以下のような一般的な漸化式になります。
この漸化式が成立つかどうか、左辺の式を階乗表現にて展開整理して検証してみます。
左辺の第一項の分母分子に r を掛け、第二項の分母分子に (n-r) を掛けることで
通分が可能となり、更に整理を進めると右辺に等しくなることが示されます。
以上のように数式は幾何学的な“美の均整”を論理的に解明する力を持っています。
しかし人が“美”を感じるのは「解明の瞬間」より、むしろ「発見の瞬間」に
より強く宿るような気がしてなりません。それは、私自身の体験に基づく感覚です。
これからお話しするのは、私が高校の頃「パスカルの三角形」を拡張した経験談です。
しかし残念なことに、このアイディアは完全ではありませんでした。
この三角錐では記載しきれない係数が存在するのです。
それは次数が上がるほど増えていきました。