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パスカルの三角形拡張 今、2つの項をもつ式を次数を上げながら展開していきます。

    (a+b)1 = a + b
    (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
    (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
    (a+b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
    (a+b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

これらの展開係数を三角形に並べると以下のようになります。



これが「パスカルの三角形」です。
この三角形に並べられた数字には、次のような法則があるのがわかります。

「ある数は、その1つ上の行の隣接する左右の数の和によって求まる」

例えば、上図の赤い部分では、6+4=10 となっています。
どうしてこんな規則性が存在するのでしょうか?

この二項式のn乗展開における係数は、
現代の数学では以下のような数式で表現されます。



これは“二項定理”と呼ばれ、右辺の係数 nr を“二項係数”と言います。
結局、パスカルが見出した“美”は、確率計算で多用される組合せ演算子(Combination)で
表現されます。事実パスカルは、ある賭博師から“賭けを中断した際の公平な配分方法”を
依頼され、その確率計算方法を検討している最中に「パスカルの三角形」を発見したそうです。
この二項係数で「パスカルの三角形」における規則性も簡単に証明できます。

6+4=10 の関係を二項係数を利用して表現すると、
以下のような一般的な漸化式になります。



この漸化式が成立つかどうか、左辺の式を階乗表現にて展開整理して検証してみます。
左辺の第一項の分母分子に r を掛け、第二項の分母分子に (n-r) を掛けることで
通分が可能となり、更に整理を進めると右辺に等しくなることが示されます。



以上のように数式は幾何学的な“美の均整”を論理的に解明する力を持っています。
しかし人が“美”を感じるのは「解明の瞬間」より、むしろ「発見の瞬間」に
より強く宿るような気がしてなりません。それは、私自身の体験に基づく感覚です。
これからお話しするのは、私が高校の頃「パスカルの三角形」を拡張した経験談です。


天の川をまたぐ夏の大三角形

(注)これは単なる挿絵です
本文内容とは関係ありません


学校で「パスカルの三角形」を教わった私は、その規則性に興味を持ち、
“三項”の場合には、どんな法則が存在するのかという好奇心にかられました。
とにかく、やってみればいいことです。
紙と鉛筆と根気さえあれば誰にでもできる作業です。
私は早速、展開作業を開始しました。
    (a+b+c)1 = a + b + c

    (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

    (a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3b2c + 3c2a + 3ab2 + 3bc2 + 3ca2 + 6abc

    (a+b+c)4 = a4 + b4 + c4 + 4a3b + 4b3c + 4c3a + 4ab3 + 4bc3 + 4ca3 +
           6a2b2 + 6b2c2 + 6c2a2 + 6a2b2 + 12a3bc + 12b3ca + 12c3ab

    (a+b+c)5 = a5 + b5 + c5 + 5a4b + 5b4c + 5c4a + 5ab4 + 5bc4 + 5ca4 +
           10a3b2 + 10b3c2 + 10c3a2 + 10a2b3 + 10b2c3 + 10c2a3 +
           20a3bc + 20b3ca + 20c3ab + 30a2b2c + 30b2c2a + 30c2a2b

これらの結果を眺めて、私はすぐにこの展開係数の中に
「3つのパスカルの三角形」が含まれていることに気づきました。
そして早速、以下のような三角錐を描いてみたのです。



しかし残念なことに、このアイディアは完全ではありませんでした。
この三角錐では記載しきれない係数が存在するのです。
それは次数が上がるほど増えていきました。
  3乗 → 6abc

  4乗 → 12a3bc + 12b3ca + 12c3ab

  5乗 → 20a3bc + 20b3ca + 20c3ab + 30a2b2c + 30b2c2a + 30c2a2b

やっぱり、この思い付きは失敗だったのでしょうか。
私は多少くじけそうになりました。
しかし、この三角錐のアイディアは、破棄するにはもったいない気がしました。
確かに表現しきれない係数がありますが、もう一押しで真理に到達する気配がしたのです。
「どうにかして完全な描象を得たい」
私は何週間もいろいろな図形を書き散らしました。

そして、ある日ついに閃きました。
三角形が「平面」なら、三角錐は「立体」です。
私は今まで三角錐の表面にのみ着目していました。
しかし「立体」は、その内部に構造を持っているのです。
表現できない係数項は、実は三角錐の内部に配置されるのではないか?
これが、私の閃きでした。
そして、問題の係数が見事な均整をもって納まるのを確認したのです。



この美しい三角錐を描ききった時の感動を忘れません。
私はパスカルの三角形を拡張することができたのです!
この三角錐に粋な名前を与えようと思ったのですが、なかなか考えつかず、
しかたなく自分の名前を取って渋々「カトウの三角錐」と呼んでいます。(笑)

この「カトウの三角錐」には、「パスカルの三角形」と同様な規則性が
あることもすぐに確認できました。

「ある数は、その1つ上の行の隣接する3つの数の和によって求まる」

例えば、上図の赤で示された部分では、4+4+12=20 という関係が成り立っています。

この規則性を数式で確認するため、私は「三項定理」を組み立てることにしました。
そのためには、まず組み合わせ演算子を拡張する必要がありました。
以下が私が勝手に発案した「Combinationの拡張表現」です。



上記の「拡張されたConbination記述」を使えば、
「三項定理」として以下のような式を与えることができます。



そして、三項定理における係数の漸化式は、以下のようになります。
ここで、二項定理の時と同様な方法を使い左辺を展開整理してみます。 見事に、三項定理における漸化式の検証も成功しました。 「カトウの三角錐」は、その一つの断面の中にも美しい規則性があります。 断面の図形は正三角形になるわけですが、その3つの頂点がそれぞれ a,b,c の最高次数項を表します。 そして、それぞれの係数の位置における「頂点との距離」によって a,b,c の次数が決るのです。 例えば、n = 4 の断面を取出してみましょう。 図の赤い点線矢印に注目して下さい。 a4 の頂点から出発して、頂点 a から1つ離れ、かつ頂点 b に1つ近づくと、a3b の項となります。 更に頂点 a から1つ離れ、今度は頂点 c に1つ近づくと a2bc の項になるわけです。 こうして「カトウの三角錐」は、見事に「パスカルの三角形」の拡張に成功しました。 この宝石の結晶のように美しい描像は、私を大変満足させました。 しかし二項定理を三項定理に拡張できるのなら、四項、五項と進めたくなるのが人情です。 そして、最後は「n項定理」という一般系にしてこそ、新しい領域の開拓であり、真の拡張と言えるでしょう。 でも、私は足を止めました。 三角形という「平面」の次に来るのが、三角錐という「立体」だとしたら、 その次に来るのは、どう考えても「超立体」つまり4次元物体です。 確かに、Combination拡張をn元化すれば、「数式」としての「n項定理」表現は可能でしょう。 それは容易に想像が付きます。しかし「パスカルの三角形」のような描像を与えることは出来ません。 そんなわけで、しばらく私はこの問題から離れていました。 「カトウの三角錐」という結論を得たことで、それなりの満足感を得たというのも事実でした。 しかしまたある日、突然と閃きが起りました。 それは、「カトウの三角錐」の断面を以下のように並べた瞬間でした。 確かに「カトウの三角錐」は“立体”です。しかし、その断面は「正三角形」という“平面”です。 という事は、四項定理の“超立体”の断面形状は、“立体”として並べることが可能なのではないか? これが私の閃きでした。そしてその立体は、必ずや「正四面体」であろうと直観しました。 早速、紙と鉛筆、そして今まで以上の“根気”を発動することにしました。
    (a+b+c+d)1 = a + b + c + d

    (a+b+c+d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2bc + 2cd + 2da + 2ac + 2bd

    (a+b+c+d)3 = a3 + b3 + c3 + d3 +
             3a2b + 3b2c + 3c2d + 3d2a + 3a2c + 3b2d +
             3ab2 + 3bc2 + 3cd2 + 3da2 + 3ac2 + 3bd2 +
             6abc + 6bcd + 6cda + 6dab

    (a+b+c+d)4 = a4 + b4 + c4 + d4 +
             4a3b + 4b3c + 4c3d + 4d3a + 4a3c + 4b3d +
             4ab3 + 4bc3 + 4cd3 + 4da3 + 4ac3 + 4bd3 +
             6a2b2 + 6b2c2 + 6c2a2 + 6a2d2 + 6a2b2 + 6b2d2 +
             12a2bc + 12ab2c + 12abc2 + 12a2bd + 12ab2d + 12abd2 +
             12a2cd + 12ac2d + 12acd2 + 12b2cd + 12bc2d + 12bcd2 + 24abcd

さて、これら四項展開の係数を、結晶のように並べることが出来るでしょうか?
結果は大成功でした。以下のように見事な正四面体の隊列が姿を現したのです!



今度は、正四面体の4つの頂点がそれぞれ a,b,c,d の最高次数項を表します。
それぞれの係数位置に関する「頂点との距離」の関係も「カトウの三角錐」と同様に成立ちます。
もちろん、1つ前の次数における隣接する係数の和が、次の次数の係数となる規則性も存在します。
見事な美しさです!
けれども、私たち3次元空間で生きる人間に描ける描像はここまでです。
次は、断面形状でさえ「4次元物体」になってしまうからです。

しかし、自らの思索で描像の限界まで達することができたという満足感は、
夜空の星のように、いつまでも私の心の内で輝いているのです。

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