思索の散歩道(鼻をつままれたおばさん:考察編)

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PT2Kさま   2001/11/12 21:38


昔、「0.9999… = 1 であることを証明せよ」 
という問題を見たことがあります 
等比数列で証明できるかな……と考えていたところ、 
その下に、 
「 1/3 = 0.3333… 
辺々3倍して 
1 = 0.9999… ■ 」 
と、別の人が書いていました(頭いいなぁ) 
大学のトイレの落書きでした(笑) 

FRANZさま   2001/11/20 22:24

> 数学の公理は、“無限小=0”なのでしょうか? 
標準的にはそう考えて良いと思います。 
ただし、無限小をゼロではない数として取り扱う考え方もあって 
超準解析(Non-Standard Analysis)と呼ばれています。 
私も具体的な事はほとんど知らない(∞も数として扱うそうです)ので 
「無限小」とか「超準」とかいうキーワードでGoogle検索してみてください。 
要するに標準解析に対して超準解析というのはユークリッド幾何学に対する
非ユークリッド幾何学のようなものなのだと思っておけばいいと思います。  


へべれけさま   2001/11/21 20:57

身近な話題を、本格的な数学証明を駆使しての解説、 
ほんと「日頃眠っている”おつむ”」が、”叩き起こされて”しまいました。 
・・・でも、身近な話題での頭の体操、いい刺激になります。 

それに端を発して「0.999…=1の証明」が話題になっているようですが、 

「 1/3=0.333… 両辺を3倍する 
  1=0.999… (証明、終わり)」 

について、こんな話を聞いた事がありますので、”でしゃばり”だと思いますが書き込みます。 


1÷3=0.3、余り0.1 

「余り0.1」を更に3で割ると、 
0.1÷3=0.03、余り0.01 

更に「余り0.01」を3で割ると、 
0.01÷3=0.003、余り0.001 ・・・ 

循環小数で表現すると単に「0.333…」ですが、 
「何故こうなるか?」と言えば、「常に”余り”がある」から。 
つまり、割っても割っても必ず”余り”が生じてしまうから、「0.333…」と永遠に続く。 

なので・・・ 

どの位で止めても余りが残っているため、「1/3の本当の値」はそれよりも大きい。 
(小数点第3位までなら、「0.333」<「0.333+未処理の”余り0.001”」) 
だから、1/3=0.333… の右辺には、割り切れない原因の”余り”があるので、 
それを3倍した場合「0.999…」ではなく、余りが”調整役”となって「1」に戻る。 

という話です。数式なら以下の通り。 

(小数点第1位まで)0.3 と 余り0.1 → 3倍は、0.9+0.1=1 
( 〃 第2位まで)0.33 と 余り0.01 → 3倍は、0.99+0.01=1 
   … 
(〃第?位まで)0.33…3 と 余り0.00…1 → 〃 0.99…9+0.00…1=1 

ただ、小数点以下何百、何万桁であっても途中で止めれば登場する”余り”、 
無限に続ければ「余りは、限りなく0に近づく」→ 0.999…=1 となるのでしょうが、 
そのためには「余りが”消える”(0になる)」ことを述べなければならないと感じます。 
・・・証明「1/3=0.333… の両辺を3倍する」では、不完全だと思います。 

(割り切れない分数や円周率、ルートなどを「数値」で表す場合、便宜上”=”で結びますが、 
数字部分は「近似値」であって、”誤差が生じる”というのが原則です。 
だから、「√2=1.4142…」のように途中で止めても、「…」を付ければ表現できます。 
         ↑ これ、2乗しても「2」にならないでしょ? 
・・・一見意味なさそうな「…」ですが、実は「誤差を調整する」役目をします) 

お騒がせしました。 

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