思索の散歩道(デカウス空間:応用編)

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chunさま   2002/01/01 23:35


加藤様こんばんは。
明けましておめでとうございます。
昨年は何かとありがとうございました。
今年もよろしくお願いしますね。

chun> とくにデカウス空間の話は、目からウロコでした。
chun> 例えば、実数平面ではプロットできない(-2)^xなども、
chun> デカウスではらせん状にプロットできますよね。
chun> もっと高校数学ではプロットできなかった色んな関数が、
chun> 視覚的イメージができるようになりそうですよね!

kato> おおっ! (-2)^xはらせん状となりますか!
kato> 恥ずかしながら、どんなイメージなるのか私にはわかりませんでした。
kato> chunさん、もしイメージできていたら教えてもらえますか?

えっと、y=(-2)^xでは、xではなくyをガウス平面上にプロットでした(^^;)
実数xに対する複素数yを、y軸をガウス平面に拡張した、
デカウス空間内にプロット・・・ですね。
そういう意味では、加藤さんのHPでの話とは少し違いますね。
y=log_(-2)x、なら同じになるのかな?

えっと、簡単にまとめてみました。
PDF形式でおくりますね。
HTMLより重くなってしまいましたが、
拡大できるので、図が見やすいかと思います。

それから、実はchun個人のHPを新たに作りました。
よろしかったら遊びに来て下さいね。

それでは、今後ともよろしくお願いします。

ASAJIさま   2002/01/03 13:18

chunさんのデカ(マ)ウスの話、興味をそそられました。
そこで、おとそ気分で思索の散歩道に踏み込んでみました。

chunさんの式を単純化した y=(-1)^x を考えると
  -1=cos(π)+i・sin(π) だから
  y=cos(πx)+i・sin(πx)
これは、yのガウス平面に対し円を描き、
立体的にはxを垂直方向とする半径1の円筒の外壁を
Δx=2に対し1周する螺旋を描きます。

更に汎化し y=(a+bi)^x としても
 (但し a^2+b^2=1 )
y=cos(θx)+i・sin(θx)
でピッチが異なるだけで、これまた同上の螺旋を描きます。
 (但し tan(θ)=b/a )

また xの代わりに i・x とおくと
y=(e^i・θ)^(i・x)=e^(-θx)となり
なんと yの虚数部分は無くなりました。

特に a=0、b=1、x=1 の場合は
 
  i^i=e^(-π/2)≒0.208 

曰く  「Iの愛情は真なり」
これ本当?

chunさま   2002/01/03 21:09

 私のレポートを紹介して頂けただけでなく、こんなステキな名前まで頂けるなんて、
とても光栄です。ありがとうございました。

ASAJIさんのiのi乗の話も、とても面白いですね!
大きさ1の複素数をix乗すると、実数になるというのが、とても驚きました。

xを実数に加えて複素数も考えた所が、もともとのデカウス空間の話ですよね。
ここから、複素数xに対するy=(-1)^xの、
デカウス空間におけるプロットも考えられますね。

x=itでは、ASAJIさんのおっしゃってるように、y=e^(-πt)、
x=1+itでは、y=e^(iπ)×e^(-πt)=-e^(-πt)、
x=2+itでは、y=e^(2iπ)×e^(-πt)=e^(-πt)・・・
Re(x)が整数の点で、xの虚軸に対して指数的なプロットが、
yの正負に交互にあらわれますね。
これこそが、本当の指数関数のデカウス空間における表現なんですね!

って、説明が下手ですね、すいません(^^;)
実際にxの実数軸、xの虚数軸、yの実数軸をかいてプロットしてみると、
ナルホド!という感じです。
同様にy=e^xでのデカウス空間の表現も似たようなモノになったり・・・
こうやって発見して行くのって、世界が広がって行く間隔ですよね!
今、凄く感動しています(*^^*)  

chunさま   2002/01/10 18:08

加藤様

chunです、こんにちは。
掲示板に書いた指数関数のデカウス曲線に関して、
文字だけじゃ分かりにくいと思ったので、またPDFにまとめてみました。
やっぱり図があると、わかりやすいですよね。

ASAJIさんの書き込みは、私には本当に衝撃的でした。
複素数の累乗を考えると、また新たな世界が広がって行く感覚で・・・
今まで見えてなかった部分って、いっぱいあるんですね、
本当に感動です。

こうやって考えると、加藤さんのデカウス空間を発見は
本当に素晴らしいです。
私はそれをもとに、色々試してみることしかできてませんから(^^;)

複素数xに対する実数yのデカウス空間、
実数xに対する複素数yのデカマウス空間の両方を合わせて、
複素数xに対する複素数yの表現ができたら面白そうですが・・・
変数が4つになってしまうので、
普通の空間座標ではムリそうですね(^^;)
何か画期的な表現方法があったら、面白そうです。

他にも、「思索の散歩道」のコンテンツも楽しみにしていますね。
「特殊相対性理論」は、私には難し過ぎましたが、
他のコンテンツにも、凄く興味がひかれます。
次は「カトウの三角錐」ですか?
楽しみにしていますね(*^^*)

chun

ASAJIさま   2002/01/19 14:15

またまた、デカマウスの件でレポートします。
Chunさんの最終レポートの立体図だけでは、
私の頭では理解出来なかったので私なりにプロットして確認しました。

Chunさんが導かれた 複素数の指数関数の一般デカマウス式
 y={r*exp(i・θ)}^(s+i・t)
  =r^s*exp(-θ*t){cos(t*ln(r)+θ*s)+i・sin(t*ln(r)+θ*s)} から出発して、
rは振幅と位相に変化を与えるだけで本質的なものではなので r=1 とし
また tは形状をデフォルメさせる要因なので t=0, ±0.5, ±1.0, ±1.5, 
を使って -π<θ<π の範囲でプロットしました。

すると、t=0の場合は横軸を中心線とする円筒、
t>0の場合はθのマイナス側に開いた指数曲線回転体に
t<0の場合はθのプラス側に開いた指数曲線回転体に沿って螺旋を描く様子がよく
わかりました。

ここで sを0にすると、指数曲線そのものになりますが、少しづつ増やして様子を
みると、上述の指数曲線回転体の周りを巻く波長(ピッチ)が変化するだけである
ことが理解出来ました。

添付の画像 DGR001.gif は、r=1,t=1.0 の場合で、横軸にθ、縦軸にyの
実数部分、この平面に垂直な方向にyの虚数部分があるものと解釈して下さい。
この指数曲線回転体は透明のガラスで出来ていて、横に倒して実平面に投射した
ものです。

添付の画像 DGI001.gif は、 DGR001.gifを90度回転させ、横軸にyの虚数部分、
縦軸に実数部分、この平面に垂直な方向にθが来るようにしたものです。
当然ながらこの指数曲線回転体を回転軸の方向から見ると、渦巻きに見えます。

この回転体の広がった方向は無限に続くので画面から遠くはみ出した部分で周期的に
折り返しており、見かけ上、sの奇偶で上部/下部に交互に発散していると錯覚し
やすいのですね。

ここへ来てようやくChunさんの最後の言葉
「ぐるっと回転していたのですね」が理解出来ました。
結局、サインカーブ、コサインカーブというものは、透明なガラスの筒に沿って巻いた
線を投射して見えるものなのですね。
多くのことを示唆して下さった加藤さん、Chunさんに改めて敬意を表します。

なお 前に投稿した i^i=e^(-π/2) は解のひとつで
一般解は i^i=e^(-π/2+2nπ)でした。
曰く 私(I)の愛情には虚は無い。しかも無数に存在する。

ついでに、このグラフをパラメータ(r、t、s)を任意に変えて
作図する小さなソフトを作りました。もし興味がおありなら
私のHomePageの趣味のページからダウンロードして下さい。
LZHファイルで240Kb程度です。Windows 95/98/2000で動作します。
印刷/jpgファイル吐き出しも出来ます。

(なお、このgifファイルは フリーソフトDIBAS32を使って
 jpgを減色16色にしてGIF変換したものです)

また、「思索の散歩道」でお会いしましょう。

Cassiopeiaさま   2002/05/05 08:21

加藤さまのデカマウス空間についての「思索」を拝見いたしました。

 私も今は数学とはほとんど関係のないところにいますが,
高校時代は数学はかなり好きでした。

 数式のグラフ化を考えましたが,
  x = s + ti, y = u + vi
とおいて,s, t, u, v の関係をグラフにすることができず,
(四次元なんだから当たり前ですね。)そのままになっていました。
そして,つい先日,後輩より面白いページがあると紹介していただき,
加藤さまの思索のページを拝見するにいたったのです。

 そのとき,高校時代の思いが蘇りました。
 さらに,四次元のものを表現するのに,「等値線」を
思い付きました。そこで, Re(x) 軸と Im(x) 軸,Re(y) 軸からなる
正規直行空間(デカマウス空間)に等値線として,Im(y) の値を
引いてみました。すると,新たな空間が広がりました。

 まず円についてエクセルでグラフを作ってみました。
そのファイルを添付しますので,もしよろしければ御覧下さい。
三角関数についても製作中です。

<添付ファイル情報>
名 称:Descaus_20020505.xls
種 類:Microsoft Excel ブック
サイズ:約 628 kB ( 641,024 Byte )

なお,マクロは使用しておりません。

Cassiopeiaさま   2002/05/13 20:10

n次方程式の解と係数の関係について
n次方程式:f(x)=0 の重解を含むn個の解を x,x,……x とする。
このとき,f(x)=0 (k=1,2,……n) であるから,整式 f(x) は
(x-x) を因数に持つ。
すなわち,
 f(x)=a(x-x)(x-x)……(x-x)=aΠ(x-x)‥‥(1)
となる。
f(x)のk次の項の係数をaとすると,(1)式より,
 a=a,a(n-1)=-aΣx ∴a(n-1)=-aΣx‥‥(2)
である。
いま,「解の重心」(G)を, G=Σx/n と定義すれば,(2)式より,
 a(n-1)=-anG ∴G=-a(n-1)/a 
よって,加藤さまの「解の重心」と係数の関係は一般的に成り立ちます。

Keiさま   2004/07/19 00:12

近頃、学校の授業で、「オイラーの等式」を習って、
ちょっと興味を持ったのでネットで検索したところ、
「三角関数の定義域は複素数まで広げられる」ようなことを書いてあったので、
もしかしたら、加藤さんのデカウスの空間で表現できるかも
と思い、考えてみました。
虚数は、

cos jx = {e^x+e^(-x)} / 2 = cosh x
sin jx = j {e^x-e^(-x)} / 2 = j sinh x

となり、加法定理によって複素数まで展開できるそうです。
つまり、虚軸-y軸平面には、双曲線余弦のグラフが描かれます。
また、加法定理より
cos (jx+π) = cos jx cos π - sin jx sin π = - cosh x
となります。
同じように、2πの周期を持って繰り返されます。

そこで、とりあえず、余弦関数をデカウス空間においたら
どのような図形が出てみるのか考えてみました。
その結果を添付します。(cosine.gif)
この図の、青い線が、通常の
y=cos x
のグラフで、
赤い線が、jx-y平面に平行に描かれるグラフです。

自分なりに考えた結果です。他にもプロットされるべき点があるかもしれませんが、

自分ではコレが限界です。

また、正弦関数についても考えました。
コレは、余弦関数と位相が 2/π ずれたのと同じようになりました。

そんなこんなで、変な自分の考えを読んでいただきありがとうございました。
それでは。

るうさま   2005/03/13 17:30

タイトル「これが複素対数だっ!」

log(-x)がよくわからない、という指摘が相次ぎましたので、
デカマウス空間に描画したものを載せておきます。

x < 0 のとき、arg x = (2n + 1)π
x > 0 のとき、arg x = 2nπ
このとき、
log z = log|z| + i arg z
より、
x < 0 のとき、log z = (2n + 1)πi
x > 0 のとき、arg x = nπi
とすると、こうなります。


青の線が、普段我々が用いる実数logです。
それとは別に、2πi 周期で同じ形のものが登場します。
負の方にも、πi だけずれた形で、逆向きのlogがあるのがわかります。

ついでなので、複素数→複素数写像を持つ関数を超デカマウス空間に描いてみたものを載せておきます。
と言っても、xr-xi平面の各点についてf(x)を求め、
実部を赤、虚部を緑で表しただけのものですが。なので、1:1写像以外は表示できません。
画像処理ソフト等で画像をRGB成分に分けると、実部だけ、虚部だけの様子がわかります。
なお、黄色は赤+緑です。
どれも、-4<xr<4, -3.272<xi<3.272, -3.14<yr<4, -3.14<yi<3.14 が表示範囲です。

(-3.14+3.14i) (+0.00+3.14i) (+3.14+3.14i)
(-3.14+0.00i) (+0.00+0.00i) (+3.14+0.00i)
(-3.14-3.14i) (+0.00-3.14i) (+3.14-3.14i)

sin z


log z(-π<arg z<πなる分枝)


exp z


長々と失礼しました。

(加藤注)なお、ここに掲載した画像を作成するソフトが、るうさんのサイトで公開されています。
     「本来4次元空間にプロットされる複素数の数式のグラフを、カラフルで見やすく表示」
      ↓
     DecausView


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